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動的モデル, 数学の知識がない人が大学で数学の知識を手にするにはどうすれば良いんでしょう

動的モデルの講義のノート.

今期はノートを取ることにしているのですが, ノートに書いていることがどういう意味なのかさっぱりわからなくなってきました. 写しているだけで理解が全く出来ていない. 基礎知識が足りない? やはり数3を受けていないと無理?

実際の初回の講義にして何を言っているのかわからなくなってきたので, 単位を取るのは絶望的なことがわかってきました. しかし, せめて微分積分の知識は得たいのですが, 先生が何を言っているのかわからなくて厳しいです.

黒板に書いてない先生の話もノートに取ろうかと思いましたが書かれてないと文章を把握できなくて写すのが困難であることがわかってきました.

平均変化率

関数y = f(x)の点x = aにおいてxの増分Δxに対するyの増分Δyの比, すなわち, ΔyΔx=f(a+Δx)−f(a)Δx\frac{Δy}{Δx} = \frac{f(a + Δx) - f(a)}{Δx}をaがa + Δxに変わるまでの平均変化率とよぶ.

｢Δxってなんですか? なんでΔなんですか?｣ ｢別になんでもいい, Δを使っているのは慣習｣

微分係数

関数y = f(x)の点x = aにおいて, Δxを限りなく0に近づけたときのx = aの近傍における平均変化率に極限が存在するとき, すなわち, limx→0f(a+Δx)−f(a)Δx\lim_{x → 0} \frac{f(a + Δx) - f(a)}{Δx}が極限値をもつとき, f(x)はx = aで微分可能である.

このときの極限値をf(x)のx = aにおける微分係数と呼び, f'(a)で表す.

f'(a)はy = f(x)のx = aにおける接線の傾きと等しい.

導関数

関数y = f(x)の各点における微分係数の表す関数を導関数とよぶ.

すなわち, 微分可能な範囲でlimΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx\lim_{Δx → 0} \frac{f(x + Δx) - f(x)}{Δx}を求めれば, f(x)の導関数が得られる.

関数f(x)から導関数f'(x)を求めることを微分するという.

例f(x)=x2f(x) = x^2のx = aにおける微分係数を定義にしたがって求める

limΔx→0f(a+Δx)−f(a)Δx=limΔx→0(a+Δx)2−a2Δx=limΔx→02aΔx+(Δx)2Δx=limΔx→02a+Δx=2a\begin{aligned} \lim_{Δx → 0} \frac{f(a + Δx) - f(a)}{Δx}\\ = \lim_{Δx → 0} \frac{(a + Δx)^2 - a^2}{Δx}\\ = \lim_{Δx → 0} \frac{2aΔx + (Δx)^2}{Δx}\\ = \lim_{Δx → 0} 2a + Δx\\ = 2a \end{aligned}

｢公式に当てはめれば一瞬だけど定義に従うと手間がかかる｣という話, 公式しか知らなかった私には意味が分からない.

基本演算公式

  1. cf(x)′=cf′(x)cf(x)' = cf'(x)
  2. (f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x)(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)
  3. (f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
  4. (f(x)g(x))′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)(g(x))2(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}

大学受験の時にこういうの少しやった気がしました. 結局覚えきれなかったので使うことは無かったのですが…

3の証明

f(x)g(x)′=limΔx→0f(x+Δx)g(x+Δx)−f(x)g(x)Δx=limΔx→0f(x+Δx)g(x+Δx)−f(x)g(x+Δx)+f(x)g(x+Δx)−f(x)g(x)Δx=limΔx→0(f(x+Δx)g(x+Δx)−f(x)g(x+Δx)Δx+f(x)g(x+Δx)−f(x)g(x)Δx)=limΔx→0f(x+Δx−f(x))Δxg(x+Δx)+limΔx→0g(x+Δx)−g(x)Δxf(x)\begin{aligned} {f(x)g(x)}'\\ = \lim_{Δx → 0} \frac{f(x + Δx)g(x + Δx) - f(x)g(x)}{Δx}\\ = \lim_{Δx → 0} \frac{f(x + Δx)g(x + Δx) - f(x)g(x + Δx) + f(x)g(x + Δx) - f(x)g(x)}{Δx}\\ = \lim_{Δx → 0} (\frac{f(x + Δx)g(x + Δx) - f(x)g(x + Δx)}{Δx} + \frac{f(x)g(x + Δx) - f(x)g(x)}{Δx})\\ = \lim_{Δx → 0} \frac{f(x + Δx - f(x))}{Δx}g(x + Δx) + \lim_{Δx → 0} \frac{g(x + Δx) - g(x)}{Δx}f(x) \end{aligned}

やってることが展開だと思っていたので−f(x)g(x+Δx)+f(x)g(x+Δx)- f(x)g(x + Δx) + f(x)g(x + Δx)は何処から出てきた? 意味不明. と思って質問してみたら, 後々の証明に使うために0になるように出しているということでした.

合計関数の導関数

合計関数y = f(u), u = g(x)について, dydx=dydu*dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} * \frac{du}{dx}

｢dみたいな記号はなんて読むんですか｣と質問したら｢dって読んでる｣という返答が帰ってきました. dらしい.

基本関数の導関数

  1. (xα)′=αx(α−1)(x^α)' = αx^(α - 1)(αは実数)
  2. (ex)′=ex(e^x)' = e^x
  3. (ax)′=axlogea(a^x)' = a^x\log_{e}a(a > 0, a ≠ 1)
  4. (log|x|′)=1x(\log |x|') = \frac{1}{x}(x ≠ 0)
  5. (loga|x|)′=1xloga(\log_a |x|)' = \frac{1}{x\log a}(a > 0, a ≠ 1)

三角関数の導関数

  1. (sinx)′=cosx(\sin x)' = \cos x
  2. (cosx)′=−sinx(\cos x)' = -\sin x
  3. (tanx)′=1cos2x(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}

y=sin3xy = \sin 3xの導関数を求める

y=sinu,u=3xy = \sin u, u = 3xとおくと, dydx=dydu*dudx=cosu*3=3cos3x\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} * \frac{du}{dx} = \cos u * 3 = 3 \cos 3x

よくわからないという質問をしたけど絶望的

｢質問はありますか｣ ｢内容がよくわからない｣ ｢復習をすること｣ ｢どうやって復習をすればいいですか｣ ｢高校自体の教科書を読むとか, 基礎解析の教科書を読むとか, ネットで情報を拾ってくるとか. 数3の知識はこの講義ではフォローできない｣

高校で全く数3をやってないのでどうしようもない.

｢ネットで数3をやってみようとしたけれどどうにもならない｣ ｢初回で言った通りその知識がない人は厳しいと思う, この講義は微積の知識がある人向けに応用を教えるので, 微積の知識が欲しい人は基礎解析などをやったほうが良い｣ ｢基礎解析はSで取ったのですがよくわからない｣ ｢基礎解析では積分はあまりやってないかもしれないけど微分はやってるはずなので, 復習をしてとしか言いようがない, 単位を気にせずに知識だけ取るという形なら良いけど単位は難しい｣ ｢自分も単位は最悪無くても良いのですが微分積分知識が欲しい｣ ｢この講義は微分積分の知識を与えるものではなく, 微分積分のある程度の知識がある人が行う講義なので, 知識がないと厳しい｣

高校では全く数3に関する授業は行われませんでした. それどころか全体への数学の授業は1Aで終わってしまったはずです. 数学の知識がない人が大学で数学の知識を手にするにはどうすれば良いんでしょう… 数学の講義を受けると数学の知識が要求されるので詰んでいます.

数学, 理科に関しては知識が小学校で止まっていると言っても過言ではない状況です.

自分も ｢単位は取れなくても知識がつけばそれでいいか…｣ みたいな感じで履修してましたが, 講義で何を言っているのかまるでわからないというのは, 知識を付けるという目的も果たせなくなるわけで, かなりつらさがあります.

一応演習問題の3問中1問は出来たのですが, 既存の証明の変数をそれ用に書き換えているだけで, どうしてこうなるのかは理解していません.

演習問題に関してはわからない箇所を先生にメールしていくことでなんとかなりそうですが, 数学の概念が根本的によくわからない状況になっていてとてもつらい. 何かが噛み合っていない.