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動的モデル演習課題 導関数の定義と色々な導関数

他の皆さんは授業中に演習課題を楽々出してましたが, 私は当然後から多大な時間を使って提出します.

y=x3y = x^3について, x=ax = aにおける微分係数を定義にしたがって求めよ

limΔx→0(a+Δx)3−a3Δx=limΔx→0a3+3aΔx2+3a2Δx+Δx3−a3Δx=limΔx→03aΔx2+3a2Δx+Δx3Δx=limΔx→03aΔx+3a2+Δx2=3a2\begin{aligned} & \lim_{Δx →0} \frac{(a + Δx)^3 - a^3}{Δx}\\ &= \lim_{Δx → 0} \frac{a^3 + 3aΔx^2 + 3a^2Δx + Δx^3 - a^3}{Δx}\\ &= \lim_{Δx → 0} \frac{3aΔx^2 + 3a^2Δx + Δx^3}{Δx}\\ &= \lim_{Δx → 0} 3aΔx + 3a^2 + Δx^2\\ &= 3a^2 \end{aligned}

(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)が成り立つことを導関数の定義にしたがって証明せよ

左辺(f(x)+g(x))′(f(x) + g(x))'は導関数の定義によりlimΔx→0f(x+Δx)+g(x+Δx)−f(x)+g(x)Δx\lim_{Δx → 0} \frac{f(x + Δx) + g(x + Δx) - f(x) + g(x)}{Δx}であり, 右辺f′(x)+g′(x)f'(x) + g'(x)は導関数の定義によりlimΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx+limΔx→0g(x+Δx)−g(x)Δx\lim_{Δx → 0} \frac{f(x + Δx) - f(x)}{Δx} + \lim_{Δx → 0} \frac{g(x + Δx) - g(x)}{Δx}になります.

limΔx→0f(x+Δx)+g(x+Δx)−f(x)+g(x)Δx=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx+limΔx→0g(x+Δx)−g(x)Δx\begin{aligned} & \lim_{Δx → 0} \frac{f(x + Δx) + g(x + Δx) - f(x) + g(x)}{Δx}\\ &= \lim_{Δx → 0} \frac{f(x + Δx) - f(x)}{Δx} + \lim_{Δx → 0} \frac{g(x + Δx) - g(x)}{Δx}\\ \end{aligned}

が成り立ち, 左辺と右辺が同じになることがわかるので, (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)が成り立つことが証明できました.

次の関数を微分せよ

途中結果を記述すること.

y=tan2xy = \tan^2 x

(tan2x)′=((tanx)2)′\begin{aligned} & (\tan^2 x)'\\ &= ((\tan x)^2)' \end{aligned}

u=tanxy=u2\begin{aligned} & u = \tan x\\ & y = u^2 \end{aligned}

u′=1cos2xy′=2u\begin{aligned} & u' = \frac{1}{\cos^2 x}\\ & y' = 2u \end{aligned}

((tanx)2)′=2(tanx)1cos2x\begin{aligned} & ((\tan x)^2)'\\ &= 2(\tan x) \frac{1}{\cos^2 x} \end{aligned}

y=x4−3x2+1y = \sqrt{x^4 - 3x^2 + 1}

x4−3x2+1′=((x4−3x2+1)12)′=12(x4−3x2+1)−12(4x3−6x)=4x3−6x2x4−3x2+1\begin{aligned} & \sqrt{x^4 - 3x^2 + 1}'\\ &= ((x^4 - 3x^2 + 1)^{\frac{1}{2}})'\\ &= \frac{1}{2}(\sqrt{x^4 - 3x^2 + 1})^{\frac{-1}{2}} (4x^3 - 6x)\\ &= \frac{4x^3 - 6x}{2\sqrt{x^4 - 3x^2 + 1}} \end{aligned}