証明

$F(x)$を$f(x)$の原始関数とすると, $F(x) + C = \int f(x) dx$

$x = φ(t)$を$F(x)$に代入して, $t$で微分すると, $$\frac{d}{dt}F(φ(t))\\ = \frac{dF(x)}{dx} * \frac{dx}{dt}\\ = f(x)φ'(t)\\ = f(φ(t))φ'(t)$$

この両辺を積分すると, $$\int f(φ(t))φ'(t) dt\\ = F(φ(t)) + C\\ = F(x) + C\\ = \int f(x) dx$$

例1

$x(x^2 + 1)^α (x ≠ 0)$の不定積分を求める.

$x^2 + 1 = t$とおき, 両辺を$t$で微分すると, $2x * \frac{dx}{dt} = 1$, よって, $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2x}$

よって, 置換積分法より$\int x(x^2 + 1)^α dx= \int xt^α * \frac{1}{2x} dt = \frac{1}{2}\int t^α dt$

$α ≠ -1$のとき, $\frac{1}{2}\int t^α dt = \frac{1}{2(α + 1)}t^{α + 1} + C$

$α = -1$のとき, $\frac{1}{2}\int t^α dt = \frac{1}{2}\log |t| + C$

よって, $\frac{1}{2(α + 1)}(x^2 + 1)^{α + 1} + C (α ≠ -1)$ $\frac{1}{2}\log (x^2 + 1) + C (α = -1)$

例2

$\cos^2 x \sin x$の不定積分を求める. $\sin x = -(\cos x)'$より$\cos x = t$とおくと,

$\int \cos^2 x \sin x dx\\ = -\int \cos^2 x (\cos x)' dx\\ = -\int t^2 dt\\ = -\frac{1}{3}t^3 + C\\ = -\frac{1}{3}\cos^3 x + C$