定積分

関数$f(x)$が$[a, b]$間の任意の$x$について, $|f(x)| < M$を満たす定数$M$が存在するとき, $f(x)$は$[a, b]$で有界である.

$[a, b]$で有界な関数$f(x)$について$[a, b]$を$n$個の小区間に分割する. この分割を$$Δ: a = x_0 < x_1 < … < x_n = b$$とする.

$Δ$に対して, 各小区間の幅を$$Δx_k = x_k - x_{k - 1} (K = 1, 2. … n)$$とし, $$|Δ| = \max_{1 <= K <= n} Δx_k$$小区間の幅の最大値を分割の幅とよぶ.

各小区間$[x_{k-1}, x_k]$から任意の点$c_k$をとり, 次の和を考える.

$$s(Δ) = \sum_{k = 1}^n f(c_k)Δx_k = f(c_1)Δx_1 + f(c_2)Δx_2 + … + f(c_n)Δx_n$$

この$s(Δ)$を分割$Δ$(および$c_k)$に関するリーマン和とよぶ.

リーマン和は, $Δ$や$c_k$のとり方によって変わる.

定理(定積分)

$f(x)$が$[a, b]$で有界かつ連続であれば, $s(Δ)$は$|Δ| → 0$のときに$Δ$や$c_k$のとり方に関らず極限値を持つ.

※

$\lim_{|Δ| → 0} s(Δ)$を$f(x)$の$[a, b]$における定積分とよび, $$\int_a^b f(x) dx$$と表す.

※

$a > b$に対して, $$\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx$$と定義する.

※

$$\int_a^a f(x) dx = 0$$と定義する.

定理(定積分)

$F(x)$を$f(x)$の任意の原始関数とすると $$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$$ が成り立つ.

$$[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$$

定理(定積分の性質)

$f(x), g(x)$が$[a, b]$で有界かつ連続であれば

1. $\int_a^b f(x) ± g(x) dx = \int_a^b f(x) dx ± \int_a^b g(x) dx$
2. $\int_a^b cf(x) dx = c\int_a^b f(x) dx$($c$は定数)
3. $\int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx (a < b < c)$

例

$$\int_0^π \sin x dx = [-\cos x]_0^π = -(-1-1) = 2$$

定理(定積分の部分積分法)

$f(x), g(x)$を$[a, b]$で有界かつ連続で微分可能な関数とする, $f'(x), g'(x)が共に連続であるとき, $$\int_a^b f(x)g'(x) dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x) dx$$

定理(定積分の置換積分法)

$f(x)$を$[a b]$で有界かつ連続な関数とし, $x = φ(t)$を$[α, β]$で微分可能な関数とする. $a = φ(α), b = φ(β)$のとき, $$\int_a^b f(x) dx = \int_α^β f(φ(t))φ'(t) dt$$ が成り立つ.